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第五章　多元函数微分学1

5.1 多元函数1

一、邻域1

二、开集与闭集2

三、区域2

四、多元函数的概念4

五、等值线5

六、多元函数的极限5

七、多元函数的连续性8

思考题5.19

习题5.110

5.2 偏导数11

一、偏导数的概念11

二、函数的偏导数与函数连续性的关系14

三、偏导数的几何意义15

四、高阶偏导数16

思考题5.217

习题5.218

5.3　全微分及其应用19

一、全微分的概念19

二、可微的性质20

三、可微的充分条件22

四、全微分在近似计算中的应用23

思考题5.326

习题5.326

5.4 多元复合函数的求导法则27

一、复合函数求导的链式法则27

二、一阶全微分形式的不变性32

三、复合函数的高阶偏导数33

思考题5.435

习题5.435

5.5 隐函数求导法37

一、一个方程的情形38

二、方程组的情形42

思考题5.546

习题5.546

5.6　偏导数在几何上的应用47

一、空间曲线的切线和法平面47

二、空间曲面的切平面和法线50

思考题5.654

习题5.654

5.7　方向导数与梯度55

一、方向导数55

二、梯度58

思考题5.761

习题5.761

5.8 二元函数的泰勒公式62

习题5.865

5.9 多元函数的极值与最大（小）值66

一、无条件极值66

二、有界闭区域上的最大值与最小值69

三、条件极值 拉格朗日乘数法71

思考题5.976

习题5.976

5.10　应用实例77

实例一 拐角问题模型77

实例二 最优价格模型79

复习题五80

第六章 多元数量值函数积分学83

6.1 多元数量值函数积分的概念与性质83

一、引例 非均匀物体的质量问题83

二、多元数量值函数积分的概念85

三、多元数量值函数积分的性质86

思考题6.188

习题6.189

6.2　二重积分的计算89

一、二重积分的几何意义90

二、在直角坐标系下计算二重积分91

三、在极坐标系下计算二重积分98

四、二重积分的换元法104

思考题6.2106

习题6.2106

6.3 三重积分的计算109

一、在直角坐标系下计算三重积分109

二、在柱面坐标系下计算三重积分114

三、在球面坐标系下计算三重积分117

四、三重积分的换元法120

思考题6.3121

习题6.3122

6.4　第一类曲线积分的计算124

一、曲线的弧长124

二、第一类曲线积分的计算127

思考题6.4131

习题6.4131

6.5 第一类曲面积分的计算132

一、曲面的面积132

二、第一类曲面积分的计算135

思考题6.5139

习题6.5139

6.6 积分在物理上的应用140

一、质心140

二、转动惯量143

三、引力145

思考题6.6147

习题6.6148

6.7 含参变量的积分148

一、有限区间上含参变量的积分148

二、含参变量反常积分151

习题6.7153

6.8　应用实例153

实例 通信卫星的电波覆盖地球表面的面积153

复习题六155

第七章　多元向量值函数积分学158

7.1　第二类曲线积分158

一、有向曲线158

二、引例159

三、第二类曲线积分的概念与性质160

四、第二类曲线积分的计算162

五、第二类曲线积分的应用165

思考题7.1167

习题7.1167

7.2　第二类曲面积分168

一、有向曲面（曲面的侧）168

二、引例170

三、第二类曲面积分的概念与性质171

四、第二类曲面积分的计算173

五、第二类曲面积分的应用179

思考题7.2181

习题7.2181

7.3　微积分基本定理的推广182

一、格林公式182

二、高斯公式187

三、斯托克斯公式190

四、微积分基本定理的统一公式194

思考题7.3198

习题7.3199

7.4　曲线积分与路径的无关性200

一、曲线积分与路径无关的条件200

二、全微分方程208

思考题7.4210

习题7.4211

7.5　场论初步212

一、场的概念212

二、通量与散度212

三、环流量与旋度214

四、保守场与势函数216

思考题7.5217

习题7.5217

复习题七218

第八章　无穷级数221

8.1 常数项级数的概念与性质221

一、常数项级数的概念221

二、常数项级数的性质225

三、级数收敛的必要条件228

思考题8.1229

习题8.1229

8.2　常数项级数的判别法230

一、正项级数的判敛法230

二、交错级数的判敛法240

三、绝对收敛与条件收敛242

思考题8.2245

习题8.2246

8.3 幂级数247

一、函数项级数的一般概念247

二、幂级数及其收敛区间249

三、幂级数的运算253

思考题8.3258

习题8.3258

8.4　函数展开成幂级数259

一、泰勒级数259

二、函数展开成幂级数261

思考题8.4268

习题8.4268

8.5　幂级数的应用268

一、用幂级数表示函数268

二、欧拉公式269

三、微分方程的幂级数解270

思考题8.5275

习题8.5275

8.6　傅里叶级数275

一、三角级数276

二、三角函数系的正交性276

三、欧拉-傅里叶系数公式277

四、傅里叶级数的收敛问题279

思考题8.6283

习题8.6283

8.7　正弦级数与余弦级数284

一、奇偶函数的傅里叶级数284

二、函数展开成正弦级数与余弦级数287

思考题8.7288

习题8.7288

8.8　任意周期函数的傅里叶级数289

一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数289

二、傅里叶级数的复数形式294

三、傅里叶积分296

习题8.8298

8.9 应用实例300

实例 银行存款问题300

复习题八302

习题答案305

参考书目327