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第一章 微积分基础1

1.1 函数1

一、集合1

二、函数的概念4

三、函数的几种特性8

四、反函数 复合函数11

五、初等函数12

六、建立函数关系式举例21

习题1.125

1.2 函数的极限27

一、“x→∞”时函数的极限28

二、“x→x0”时函数的极限32

三、极限的性质37

四、极限的四则运算法则39

习题1.243

1.3 极限存在准则 两个重要极限46

一、夹逼准则？=146

二、单调有界准则？(1+？)x=e49

四、海涅定理54

三、柯西收敛准则54

习题1.356

1.4 无穷小量与无穷大量58

一、无穷小量与无穷大量的概念58

二、无穷小量与无穷大量的关系59

三、无穷小的四则运算性质60

四、函数及其极限与无穷小的关系62

五、无穷小的比较63

习题1.468

一、连续性的概念70

1.5 连续函数70

二、函数的间断点75

三、初等函数的连续性80

四、闭区间上连续函数的性质85

习题1.590

1.6 导数与微分的概念92

一、引例92

二、导数的定义95

三、导数的几何意义99

四、函数可导与连续的关系100

五、微分的概念102

习题1.6105

1.7 定积分的概念及性质107

一、引例107

二、定积分的定义109

三、定积分的几何意义 函数可积的充分条件111

四、定积分的性质114

习题1.7117

1.8 微积分基本定理118

一、积分上限的函数119

二、原函数与不定积分的概念120

三、牛顿-莱布尼兹公式123

习题1.8126

复习题126

第二章 微积分运算129

2.1 导数的运算法则与基本公式129

一、导数的四则运算法则129

二、复合函数的求导法则131

三、反函数的求导法则136

四、导数基本公式138

习题2.1139

2.2 隐函数及参数式函数的导数141

一、隐函数的导数141

二、参数式函数的导数146

习题2.2150

2.3 高阶导数151

习题2.3158

2.4 微分的运算与微分形式不变性160

一、微分的运算160

二、微分形式不变性160

三、微分在近似计算中的应用162

习题2.4166

2.5 积分基本公式与运算法则167

习题2.5173

2.6 第一换元积分法(凑微分法)174

习题2.6184

2.7 第二换元积分法 定积分的换元积分法185

一、第二换元积分法185

二、定积分的换元积分法192

习题2.7198

2.8 分部积分法200

习题2.8212

2.9 几种特殊类型的函数的积分214

一、有理函数的积分214

二、三角函数有理式的积分224

三、简单无理函数的积分226

习题2.9227

2.10 数值积分228

一、几个基本数值求积公式230

二、变步长梯形法235

习题2.10238

复习题239

第三章 微积分应用245

3.1 泰勒公式245

习题3.1254

3.2 微分中值定理256

习题3.2260

3.3 不定型的极限262

一、？和？型262

二、其他不定型265

习题3.3270

一、函数单调性的判定法271

3.4 函数的单调性与极值271

二、函数的极值274

三、最大值与最小值问题280

四、求函数极值的数值方法284

习题3.4291

3.5 函数的凸性与拐点293

习题3.5300

3.6 函数作图301

一、曲线的渐近线301

二、函数作图306

习题3.6308

3.7 曲率309

一、弧微分309

二、曲线的曲率311

习题3.7316

3.8 方程求根的迭代法316

一、迭代法317

二、牛顿法322

三、弦截法326

习题3.8327

3.9 定积分在几何方面的应用328

一、微元分析法329

二、求平面图形的面积331

三、已知平行截面面积的立体体积336

习题3.9340

3.10 定积分在物理方面的应用341

习题3.10349

3.11 微积分的其他应用351

一、相关变化率351

二、函数的平均值与均方根353

三、在经济和管理理论中的应用355

习题3.11361

3.12 数学建模简介363

一、数学模型的概念364

二、建立数学模型的方法和步骤367

三、几个建模实例369

习题3.12377

复习题378

第四章 常微分方程383

4.1 基本概念383

习题4.1389

4.2 一阶微分方程390

一、可分离变量的方程391

二、齐次方程397

三、可化为齐次方程的方程400

四、一阶线性方程404

习题4.2410

4.3 高阶微分方程413

一、可降阶的方程413

二、高阶线性方程421

三、二阶常系数线性微分方程429

四、欧拉方程447

习题4.3450

4.4 常微分方程的数值解法455

一、欧拉方法456

二、改进的欧拉方法457

习题4.4460

4.5 微分方程模型461

习题4.5471

复习题472

习题答案475