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第1章 引言1

§1 动力系统及其实例1

§2 预备知识5

2.1 度量空间6

2.2 Rn的映射7

2.3 隐函数定理11

练习一12

第2章 离散动力系统初步14

§1 周期轨与沙可夫斯基定理16

§2 周期点的稳定性18

§3 双曲不动点的稳定流形与不稳定流形23

§4 不变集与吸引子28

§5 拓扑共轭与符号动力系统29

练习二34

第3章 混沌37

§1 混沌的概念38

§2 虫口模型中的混沌43

2.1 0＜λ≤1的情形43

2.2 1＜λ＜3的情形43

2.3 λ=3到λ=4的过渡46

2.4 λ＞4的情形57

3.1 奇怪吸引子62

§3 Hénon映射62

3.2 周期吸引子69

3.3 同宿点和马蹄70

§4 吸引子的特征76

4.1 李雅谱诺夫指数76

4.2 分形81

4.3 柯尔莫哥罗夫熵92

§5 时间序列的重构相空间95

5.1 时间序列的重构相空间95

5.2 关联维数96

5.3 时间序列的Lyapunov指数97

5.4 时间序列的确定性检验99

5.5 时间序列的预测101

练习三107

第4章 常微分方程基本理论110

§1 Rn中的常微分方程110

§2 Rn中常微分方程的解113

§3 Rn中微分方程解的性质117

§4 Rn中的线性微分方程组119

4.1 齐次线性微分方程组的通解120

4.2 非齐次线性微分方程组的解124

5.1 矩阵指数expA的定义和性质126

§5 Rn中常系数线性微分方程组126

5.2 基解矩阵的求法127

练习四133

第5章 微分方程的稳定性136

§1 稳定性的概念136

1.1 稳定性的各种定义139

1.2 稳定性的几何解释143

§2 自治微分方程的稳定性145

2.1 常系数线性齐次微分方程组的稳定性145

2.2 按一次近似判断稳定性147

2.3 李雅谱诺夫第二方法151

§3 李雅谱诺夫函数构造举例157

3.1 常系数线性系统的李雅谱诺夫函数157

3.2 类比法159

3.3 能量函数法162

3.4 变量分离法163

3.5 变梯度法164

§4 周期系数的线性方程167

练习五171

第6章 常微分方程动力系统175

1.1 流176

§1 自治微分方程所定义的动力系统176

1.2 轨线的极限状态178

§2 奇点180

2.1 平面线性系统的奇点180

2.2 平面非线性系统的双曲奇点188

2.3 中心流形定理193

§3 极限环197

3.1 极限环的稳定性198

3.2 Poincaré映射201

3.3 闭轨的存在性202

§4 分支与结构稳定性206

4.1 几种典型的静态分支208

4.2 动态分支211

§5 同宿轨与Mé1nikov方法216

§6 微分方程动力系统的混沌222

§7 Lorenz方程226

7.1 静态分支227

7.2 Hopf分支229

7.3 参量改变对系统动态的影响230

7.4 奇异不变集合232

练习六234

参考文献239