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第一篇 预备知识1

引言1

第1章 集合论3

1.0 内容提要3

1.1 本章学习要求3

1.2 集合4

1.2.1 集合的表示5

1.2.2 集合与元素的关系6

1.2.3 集合与集合的关系7

1.2.4 几个特殊的集合8

1.2.5 集合的运算10

1.2.6 集合的难点13

1.3 无限集13

1.3.1 可数集合和不可数集合13

1.3.2 无限集的难点16

1.4 集合的应用16

1.5 本章总结18

1.6 习题19

第2章 计数问题23

2.0 内容提要23

2.1 本章学习要求23

2.2 基本原理24

2.2.1 乘法原理24

2.2.2 加法原理25

2.2.3 基本原理的难点26

2.3 排列与组合27

2.3.1 排列问题27

2.3.2 组合问题29

2.3.3 排列与组合的难点30

2.4 容斥原理与鸽笼原理31

2.4.1 容斥原理31

2.4.2 鸽笼原理34

2.4.3 容斥原理与鸽笼原理的难点34

2.5 离散概率简介35

2.5.1 基本概念35

2.5.2 离散概率函数36

2.5.3 离散概率简介的难点39

2.6 递归关系39

2.6.1 递归关系39

2.6.2 递归关系的难点40

2.7 计数问题的应用41

2.8 本章总结43

2.9 习题44

第二篇 数理逻辑47

引言47

第3章 命题逻辑49

3.0 内容提要49

3.1 本章学习要求49

3.2 命题与命题联结词50

3.2.1 命题50

3.2.2 命题联结词51

3.2.3 联结词理解难点56

3.2.4 命题联结词的应用57

3.3 命题公式、解释与真值表58

3.3.1 命题公式59

3.3.2 命题公式的解释与真值表61

3.3.3 命题公式的分类64

3.3.4 命题公式的基本等价关系66

3.3.5 命题公式的难点69

3.3.6 命题公式的应用70

3.4 联结词的完备集73

3.4.1 命题联结词的个数73

3.4.2 联结词的完备集74

3.4.3 联结词的完备集的应用75

3.5 公式的标准型——范式77

3.5.1 析取范式和合取范式77

3.5.2 主析取范式和主合取范式79

3.5.3 范式的难点86

3.5.4 范式的应用86

3.6 本章总结88

3.7 习题89

第4章 谓词逻辑92

4.0 内容提要93

4.1 本章学习要求93

4.2 谓词逻辑中的基本概念与表示93

4.2.1 谓词94

4.2.2 量词96

4.2.3 谓词的语言翻译99

4.2.4 谓词翻译难点100

4.2.5 谓词翻译的应用100

4.3 谓词合式公式与解释101

4.3.1 谓词的合式公式102

4.3.2 自由变元和约束变元103

4.3.3 谓词合式公式的解释105

4.3.4 谓词合式公式的分类106

4.3.5 谓词合式公式的基本等价关系108

4.3.6 谓词合式公式难点110

4.3.7 谓词合式公式的应用110

4.4 公式的标准型——范式111

4.4.1 前束范式111

4.4.2 Skolem标准型112

4.4.3 范式的难点113

4.5 本章总结113

4.6 习题115

第5章 推理与证明技术118

5.0 内容提要118

5.1 本章学习要求118

5.2 命题逻辑的推理理论118

5.2.1 推理的基本概念和推理形式119

5.2.2 判断有效结论的常用方法120

5.2.3 命题逻辑推理的难点126

5.2.4 命题逻辑推理的应用127

5.3 谓词逻辑的推理理论129

5.3.1 谓词演算的演绎与推理129

5.3.2 谓词演算的综合推理方法131

5.3.3 谓词逻辑推理的难点135

5.3.4 谓词逻辑推理的应用135

5.4 数学归纳法140

5.4.1 数学归纳法原理140

5.4.2 数学归纳法应用142

5.5 按定义证明方法143

5.5.1 按定义证明方法原理143

5.5.2 按定义证明方法应用实例144

5.6 本章总结145

5.7 习题146

第三篇 二元关系149

引言149

第6章 二元关系151

6.0 内容提要151

6.1 本章学习要求151

6.2 二元关系152

6.2.1 序偶和笛卡儿积152

6.2.2 关系的定义155

6.2.3 关系的表示法157

6.2.4 二元关系的难点161

6.2.5 关系的应用161

6.3 关系的运算163

6.3.1 关系的复合运算164

6.3.2 关系的逆运算167

6.3.3 关系的幂运算170

6.3.4 关系运算的难点172

6.3.5 关系运算的应用172

6.4 关系的性质173

6.4.1 关系性质的定义173

6.4.2 关系性质的判定定理181

6.4.3 关系性质的保守性182

6.4.4 关系性质的难点183

6.4.5 关系性质的应用183

6.5 关系的闭包运算184

6.5.1 关系的闭包184

6.5.2 关系闭包的难点188

6.5.3 关系闭包的应用188

6.6 本章总结189

6.7 习题190

第7章 特殊关系194

7.0 内容提要194

7.1 本章学习要求194

7.2 等价关系195

7.2.1 等价关系195

7.2.2 集合的划分197

7.2.3 等价类与商集198

7.2.4 等价关系与划分200

7.2.5 等价关系的难点203

7.2.6 等价关系的应用203

7.3 次序关系204

7.3.1 拟序关系205

7.3.2 偏序关系205

7.3.3 全序关系212

7.3.4 良序关系213

7.3.5 次序关系的难点214

7.3.6 次序关系的应用214

7.4 本章总结216

7.5 习题217

第8章 函数220

8.0 内容提要220

8.1 本章学习要求220

8.2 函数221

8.2.1 函数的定义221

8.2.2 函数的类型223

8.2.3 常用函数226

8.2.4 函数的难点227

8.2.5 函数的应用227

8.3 函数的运算229

8.3.1 函数的复合运算229

8.3.2 函数的逆运算231

8.3.3 函数运算的难点232

8.3.4 函数运算的应用232

8.4 置换函数233

8.4.1 基本概念234

8.4.2 置换函数的难点234

8.4.3 置换函数的应用235

8.5 本章总结235

8.6 习题236

第四篇 图论239

引言239

第9章 图241

9.0 内容提要241

9.1 本章学习要求241

9.2 图的基本概念242

9.2.1 图的定义242

9.2.2 图的表示243

9.2.3 图的操作245

9.2.4 邻接点与邻接边245

9.2.5 图的分类246

9.2.6 子图与补图248

9.2.7 结点的度数与握手定理251

9.2.8 图的同构253

9.2.9 图的难点254

9.2.10 图的应用254

9.3 通路、回路与连通性255

9.3.1 通路与回路255

9.3.2 无向图的连通性263

9.3.3 有向图的连通性264

9.3.4 通路、回路与连通性的难点266

9.3.5 通路、回路与连通性的应用267

9.4 本章总结273

9.5 习题273

第10章 树277

10.0 内容提要277

10.1 本章学习要求277

10.2 树278

10.2.1 树的定义与性质278

10.2.2 生成树280

10.2.3 最小生成树283

10.2.4 无向树的难点285

10.2.5 无向树的应用285

10.3 根树285

10.3.1 根树的定义与分类285

10.3.2 根树的遍历289

10.3.3 最优树与哈夫曼算法291

10.3.4 根树的难点293

10.3.5 根树的应用294

10.4 本章总结297

10.5 习题298

第11章 特殊图300

11.0 内容提要300

11.1 本章学习要求300

11.2 欧拉图301

11.2.1 欧拉图的引入与定义301

11.2.2 欧拉图的判定302

11.2.3 欧拉图的难点304

11.2.4 欧拉图的应用305

11.3 哈密顿图306

11.3.1 哈密顿图的引入与定义306

11.3.2 哈密顿图的判定308

11.3.3 哈密顿图的难点311

11.3.4 哈密顿图的应用312

11.4 偶图316

11.4.1 偶图的定义316

11.4.2 偶图的判定317

11.4.3 匹配318

11.4.4 偶图的难点319

11.4.5 偶图的应用319

11.5 平面图321

11.5.1 平面图的定义321

11.5.2 平面图的简单判定方法——观察法321

11.5.3 欧拉公式322

11.5.4 库拉托夫斯基定理325

11.5.5 对偶图326

11.5.6 图的着色327

11.5.7 平面图的难点330

11.5.8 平面图的应用330

11.6 本章总结332

11.7 习题333

第五篇 代数系统337

引言337

第12章 代数系统339

12.0 内容提要339

12.1 本章学习要求339

12.2 代数系统340

12.2.1 代数运算340

12.2.2 代数系统与子代数343

12.2.3 代数系统中的难点344

12.2.4 代数系统的应用344

12.3 代数系统的基本运算和性质345

12.3.1 二元运算律345

12.3.2 代数系统的性质350

12.3.3 代数系统性质的难点358

12.3.4 代数系统性质的应用358

12.4 同态与同构359

12.4.1 同态与同构359

12.4.2 同态的性质362

12.4.3 同态与同构的难点363

12.4.4 同态与同构的应用364

12.5 本章总结365

12.6 习题366

第13章 群369

13.0 内容提要369

13.1 本章学习要求369

13.2 半群与含幺半群370

13.2.1 半群与含幺半群370

13.2.2 元素的幂372

13.2.3 循环半群373

13.2.4 半群与含幺半群的难点375

13.2.5 半群的应用375

13.3 群及其性质376

13.3.1 群的定义及基本性质378

13.3.2 元素的周期380

13.3.3 子群383

13.3.4 群的同态389

13.3.5 群及子群的难点391

13.3.6 群的应用391

13.4 特殊群393

13.4.1 交换群（阿贝尔群）393

13.4.2 循环群394

13.4.3 置换群397

13.4.4 特殊群的难点398

13.4.5 特殊群的应用398

13.5 陪集与拉格朗日定理400

13.5.1 陪集400

13.5.2 拉格朗日定理403

13.5.3 陪集与拉格朗日定理的难点404

13.5.4 拉格朗日定理的应用404

13.6 正规子群与商群405

13.6.1 正规子群（不变子群）405

13.6.2 商群407

13.6.3 正规子群与商群的难点410

13.6.4 商群的应用410

13.7 本章总结411

13.8 习题412

第14章 环与域415

14.0 内容提要415

14.1 本章学习要求415

14.2 环与域416

14.2.1 环与域的定义416

14.2.2 环与域的性质418

14.2.3 环与域的应用419

14.3 本章总结420

14.4 习题421

第15章 格与布尔代数422

15.0 内容提要422

15.1 本章学习要求423

15.2 格423

15.2.1 偏序格423

15.2.2 代数格425

15.2.3 偏序格与代数格的等价性426

15.2.4 格的性质428

15.2.5 子格与格同态429

15.2.6 分配格与模格432

15.2.7 有界格与有补格434

15.2.8 格的难点437

15.2.9 格的应用438

15.3 布尔代数438

15.3.1 布尔代数438

15.3.2 布尔表达式441

15.3.3 布尔代数的难点444

15.3.4 布尔代数的应用445

15.4 本章总结448

15.5 习题449

参考文献451