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第1章　数值计算的误差1

1.1　误差类型1

1.2　误差定义2

1.3　有效数字4

1.4　数值计算的运算误差6

1.5　误差的传播与计算不稳定性11

习题113

第2章　线性代数方程组与矩阵15

2.1　矩阵的几个定义15

2.2　解的唯一性17

2.3 高斯消去法18

2.3.1　高斯消去法的基本原理18

2.3.2　选主元20

2.4　LU分解24

2.4.1　系数矩阵的LU分解25

2.4.2　用LU分解求解方程组28

2.5　乔里斯基分解30

2.5.1　对称正定矩阵的乔里斯基分解30

2.5.2　用乔里斯基分解求解方程组33

2.6　高斯-约当消去法36

2.7　高斯-约当法求矩阵的逆39

2.7.1　原地工作的矩阵求逆40

2.7.2　全选主元44

2.8　求解三对角线方程组46

2.9　高斯-赛德尔迭代法50

2.10　关于病态系统54

习题255

第3章　矩阵的特征值与特征向量57

3.1　关于矩阵特征值与特征向量的基本概念57

3.2　特征向量的正交性与规格化正交性60

3.3　乘幂法61

3.4　求对称矩阵特征值的雅可比方法66

3.5　求对称矩阵特征值的豪斯荷尔德方法77

3.5.1　用豪斯荷尔德变换将一般实对称矩阵约化成对称三对角矩阵77

3.5.2　确定对称三对角矩阵的特征值80

3.6　用QR方法求一般实矩阵的全部特征值83

3.6.1　用初等相似变换将一般实矩阵约化成上H矩阵84

3.6.2　QR方法确定上H矩阵的特征值86

习题392

第4章　非线性方程94

4.1 图解法94

4.2　逐步扫描法95

4.3　对分法96

4.4　试位法98

4.5　逐次代入法100

4.5.1　简单迭代法100

4.5.2　埃特金迭代法102

4.6　牛顿法105

4.7　割线法108

4.8　多项式方程的求解108

4.9　非线性方程组的求解113

4.9.1　梯度法113

4.9.2　拟牛顿法116

习题4121

第5章　插值法123

5.1　多项式插值123

5.2　牛顿向前差分公式125

5.3　牛顿向后差分公式127

5.4　牛顿差商公式128

5.5　拉格朗日插值公式130

5.6　样条插值134

习题5141

第6章　函数逼近143

6.1　正交多项式及其构造143

6.2　最佳二乘逼近144

6.2.1　二乘逼近144

6.2.2　最佳二乘逼近多项式144

6.3　切比雪夫逼近147

6.3.1　切比雪夫多项式147

6.3.2　用切比雪夫级数计算函数的近似值148

6.3.3　用切比雪夫多项式降低逼近多项式的次数152

习题6154

第7章　曲线拟合156

7.1　曲线拟合的最小二乘法156

7.2　线性拟合157

7.2.1　一般的线性拟合157

7.2.2　半对数数据拟合159

7.2.3　对数数据拟合161

7.2.4　相关系数163

7.3　多变量线性拟合164

7.4　多项式拟合169

7.5　使用正交多项式的拟合171

习题7176

第8章　数值积分177

8.1　牛顿-柯特斯积分公式178

8.2　变步长求积法181

8.2.1　变步长梯形求积法181

8.2.2　变步长辛卜生求积法183

8.3　龙贝格求积法185

8.4　高斯求积法188

8.4.1　高斯积分公式188

8.4.2　几种常用的高斯求积公式189

8.5　数据的积分195

8.6　开放积分公式197

习题8198

第9章　数值微分199

9.1　差分公式199

9.2　理查森外推法203

9.3　拉格朗日微分公式206

习题9208

第10章　常微分方程的初值问题209

10.1　常微分方程初值问题的数值解209

10.2　欧拉方法211

10.2.1　基本公式211

10.2.2　改进欧拉公式212

10.3　步长的自动选择216

10.4　龙格-库塔法219

10.5　阿当姆斯预报—校正法224

10.6　常微分方程组228

10.7　高阶微分方程231

10.8　刚性微分方程232

习题10234

第11章　常微分方程的边值问题236

11.1　试射法236

11.2　有限差分法241

习题11245

部分参考答案246

参考文献252