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第1章 科学计算与MATLAB1

1.1科学计算的意义1

1.2误差基础知识2

1.2.1误差的来源2

1.2.2误差度量2

1.2.3有效数字3

1.2.4向量的误差3

1.2.5计算机的浮点数系4

1.2.6一个实例4

1.2.7数值计算中应注意的几个问题5

1.3 MATLAB软件8

1.3.1简介8

1.3.2向量和矩阵的基本运算9

1.3.3流程控制16

1.3.4脚本文件和函数文件19

1.3.5帮助系统23

1.3.6画图功能27

1.3.7数据操作31

习题一34

数值实验一34

第2章 线性方程组的直接解法36

2.1高斯消去法36

2.2 矩阵的三角分解40

2.2.1 LU分解和LDU分解40

2.2.2乔列斯基分解43

2.2.3追赶法45

2.2.4分块三角分解47

2.3 QR分解和奇异值分解48

2.3.1正交矩阵48

2.3.2 QR分解51

2.3.3奇异值分解53

习题二54

数值实验二56

第3章 多项式插值与样条插值57

3.1多项式插值57

3.1.1多项式插值问题的定义57

3.1.2插值多项式的存在唯性58

3.1.3插值基函数58

3.2拉格朗日插值59

3.2.1拉格朗日插值基函数59

3.2.2拉格朗日插值多项式59

3.2.3插值余项61

3.3牛顿插值62

3.3.1差商62

3.3.2牛顿插值公式及其余项65

3.3.3差分与等距节点的插值公式66

3.4埃尔米特插值67

3.4.1两点三次埃尔米特插值67

3.4.2埃尔米特插值多项式的余项69

3.4.3n+1个点2n+1次埃尔米特插值多项式H2n+1（x）及其余项（x）69

3.5三次样条插值71

3.5.1样条插值概念的产生71

3.5.2三次样条函数74

习题三82

数值实验三84

第4章 函数逼近85

4.1内积与正交多项式85

4.1.1权函数和内积85

4.1.2正交函数系86

4.1.3勒让德多项式87

4.1.4切比雪夫多项式88

4.1.5其他正交多项式90

4.2最佳一致逼近与切比雪夫展开90

4.2.1最佳一致逼近多项式90

4.2.2线性最佳一致逼近多项式的求法92

4.2.3切比雪夫展开与近似最佳一致逼近多项式93

4.3最佳平方逼近94

4.3.1预备知识94

4.3.2最佳平方逼近95

4.4曲线拟合的最小二乘法99

4.4.1最小二乘法99

4.4.2利用正交多项式做最小二乘拟合102

4.4.3非线性最小二乘问题104

4.4.4矛盾方程组107

4.5周期函数逼近与快速傅里叶变换108

4.5.1周期函数的最佳平方逼近108

4.5.2快速傅里叶变换（FFT）110

习题四112

数值实验四113

第5章 数值积分与数值微分114

5.1几个常用积分公式及其复合积分公式114

5.1.1几个常用积分公式114

5.1.2代数精度116

5.1.3积分公式的复合118

5.2变步长方法与外推加速技术123

5.2.1变步长梯形法123

5.2.2外推加速技术与龙贝格求积方法124

5.3牛顿-科茨公式126

5.4高斯公式128

5.4.1高斯公式的定义及性质128

5.4.2常用高斯型公式132

5.4.3高斯型公式的应用137

5.5多重积分的计算140

5.5.1二重积分的计算140

5.5.2蒙特卡罗模拟求积法简介143

5.6数值微分146

5.6.1基于拉格朗日插值多项式的求导方法146

5.6.2基于样条函数的求导方法149

习题五152

数值实验五154

第6章 线性方程组的迭代解法156

6.1范数和条件数156

6.1.1矩阵范数156

6.1.2扰动分析和条件数157

6.2基本迭代法159

6.2.1雅可比迭代法160

6.2.2高斯 赛德尔迭代法161

6.2.3超松弛（SOR）迭代法162

6.2.4迭代的收敛性分析和误差估计164

6.3 不定常迭代法168

6.3.1最速下降法169

6.3.2 共轭梯度法172

6.3.3广义极小残量法175

6.3.4预处理技术180

习题六181

数值实验六183

第7章 非线性方程求根184

7.1非线性方程求根的基本问题184

7.2二分法187

7.3 不动点迭代方法188

7.4迭代加速191

7.5牛顿法193

7.6割线法199

7.7非线性方程组简介201

7.8非线性最小二乘问题204

7.9大范围求解方法206

习题七209

数值实验七210

第8章 矩阵特征值与特征向量的计算211

8.1前言211

8.2幂方法213

8.2.1乘幂法213

8.2.2反幂法217

8.2.3结合原点平移的反幂法218

8.3 QR方法219

习题八221

数值实验八222

第9章 常微分方程初边值问题数值解223

9.1欧拉公式及其改进223

9.1.1欧拉公式223

9.1.2数值积分与多步法225

9.1.3预估校正公式228

9.2龙格库塔公式230

9.3收敛性与稳定性235

9.3.1显式单步法的收敛性235

9.3.2单步法的稳定性238

9.4微分方程组和刚性问题240

9.5有限差分法244

习题九247

数值实验九248

参考文献249

索引250