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第一章 边值问题的变分形式1

1 二次函数的极值1

2 两点边值问题3

2.1 弦的平衡3

2.2 Sobolev空间Hm(I)4

2.3 极小位能原理8

2.4 虚功原理12

3 二阶椭圆边值问题14

3.1 Sobolev空间Hm(G)14

3.2 极小位能原理15

3.3 自然边值条件18

3.4 虚功原理20

4 Ritz-Galerkin方法21

第二章 椭圆和抛物型方程的有限元法29

1 两点边值问题的有限元法29

1.1 从Ritz法出发30

1.2 从Galerkin法出发35

2 线性有限元法的误差估计39

2.1 H1-估计39

2.2 L2-估计 对偶论证法41

3 一维高次元44

3.1 一次元(线性元)44

3.2 二次元45

3.3 三次元47

4 二维矩形元51

4.1 Lagrange型公式51

4.2 Hermite型公式53

5 三角形元55

5.1 面积坐标及有关公式56

5.2 Lagrange型公式57

5.3 Hermite型公式58

6 曲边元和等参变换60

7 二阶椭圆方程的有限元法65

7.1 有限元方程的形成65

7.2 矩阵元素的计算66

7.3 边值条件的处理68

7.4 举例70

8 收敛阶的估计75

9 抛物方程的有限元法78

第三章 椭圆型方程的有限差分法82

1 差分逼近的基本概念82

2 两点边值问题的差分格式86

2.1 直接差分化86

2.2 积分插值法89

2.3 边值条件的处理91

3 二维椭圆边值问题的差分格式93

3.1 五点差分格式93

3.2 边值条件的处理96

3.3 极坐标形式的差分格式98

4 极值定理 敛速估计101

4.1 差分方程101

4.2 极值定理103

4.3 五点格式的敛速估计104

5 先验估计106

5.1 差分公式107

5.2 若干不等式108

5.3 先验估计110

5.4 解的存在惟一性及敛速估计112

6 有限体积法113

6.1 三角网的差分格式113

6.2 有限体积法117

第四章 抛物型方程的有限差分法124

1 最简差分格式124

2 稳定性与收敛性130

2.1 稳定性概念130

2.2 判别稳定性的直接估计法132

2.3 收敛性和误差估计134

3 Fourier方法136

4 判别差分格式稳定性的代数准则141

5 变系数抛物方程147

6 分数步长法151

6.1 ADI法151

6.2 预-校法154

6.3 LOD法155

7 有限体积法156

第五章 双曲型方程的有限差分法158

1 波动方程的差分逼近158

1.1 波动方程及其特征158

1.2 显格式159

1.3 稳定性分析161

1.4 隐格式164

1.5 强迫振动165

2 一阶双曲型方程组166

2.1 双曲型方程组 特征概念166

2.2 Cauchy问题 依存域 影响域 决定域169

2.3 其他定解问题171

2.4 拟线性双曲方程组173

2.5 一维不定常流175

3 双曲方程差分格式的构造178

3.1 迎风格式178

3.2 Lax格式与Box格式181

3.3 粘性差分格式 Lax-Wendroff格式183

4 Godunov格式 守恒型格式 单调格式186

4.1 Godunov格式186

4.2 守恒型格式189

4.3 单调格式190

5 有限体积法192

第六章 离散化方程的解法196

1 基本迭代法196

1.1 离散方程的基本特征196

1.2 一般迭代法199

1.3 超松弛法(SOR法)201

1.4 预处理迭代法202

2 交替方向迭代法204

2.1 二维交替方向迭代205

2.2 三维交替方向迭代208

3 预处理共轭梯度法210

3.1 共轭梯度法210

3.2 预处理共轭梯度法211

4 多重网格法215

4.1 二重网格法：差分形式215

4.2 二重网格法：有限元形式217

4.3 多重网格法和套迭代技术220

4.4 推广到多维问题221

主要参考文献223