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第一章 矩阵的运算与初等变换1

1 矩阵与向量的概念1

1.1 矩阵的概念1

1.2 向量的概念3

习题1.14

2 矩阵的运算4

2.1 矩阵加法4

2.2 数乘矩阵5

2.3 矩阵乘法6

2.4 矩阵的转置11

习题1.213

3 分块矩阵及矩阵的分块运算14

3.1 矩阵的分块加法运算16

3.2 矩阵的分块数乘运算16

3.3 矩阵的分块乘法运算17

3.4 分块矩阵的转置18

习题1.319

4 几种特殊矩阵20

4.1 对角矩阵21

4.2 上（下）三角形矩阵22

4.3 对称矩阵23

4.4 反称矩阵24

4.5 分块对角矩阵25

习题1.427

5 矩阵的初等变换27

5.1 引例27

5.2 矩阵的初等变换28

5.3 初等矩阵32

习题1.535

第二章 方阵的行列式36

1 n阶行列式的定义36

1.1 n阶行列式的引出36

1.2 全排列及其逆序数38

1.3 n阶行列式的定义40

习题2.144

2 方阵行列式的性质45

习题2.249

3 展开定理与行列式的计算51

3.1 余子式和代数余子式51

3.2 行列式按一行（列）展开定理52

3.3 Laplace定理60

习题2.363

第三章 可逆矩阵66

1 可逆矩阵的定义与性质66

1.1 可逆矩阵的概念66

1.2 可逆矩阵的性质67

习题3.168

2 方阵可逆的充要条件与逆矩阵计算69

习题3.276

3 矩阵的秩78

习题3.382

第四章 线性方程组与向量组的线性相关性84

1 消元法与线性方程组的相容性84

1.1 线性方程组的相容性与Cramer法则84

1.2 用消元法解线性方程组87

习题4.191

2 向量组的线性相关性92

2.1 n维向量92

2.2 向量组的线性相关性93

习题4.299

3 向量组的秩矩阵的行秩与列秩101

3.1 向量组的秩101

3.2 矩阵的行秩与列秩103

习题4.3107

4 线性方程组解的结构108

4.1 齐次线性方程组解的结构108

4.2 非齐次线性方程组解的结构115

习题4.4118

第五章 方阵的特征值、特征向量与相似化简121

1 数域多项式的根121

1.1 数域121

1.2 多项式的根与标准分解式122

习题5.1124

2 方阵的特征值与特征向量124

习题5.2131

3 方阵相似于对角矩阵的条件132

3.1 相似矩阵及其性质132

3.2 方阵的相似对角化134

习题5.3141

4 正交矩阵142

4.1 实向量的内积与长度142

4.2 正交向量组143

4.3 正交矩阵与正交变换146

4.4 共轭矩阵148

4.5 H-矩阵与酉矩阵149

习题5.4149

5 实对称矩阵的相似对角化151

5.1 实对称矩阵特征值与特征向量的性质151

5.2 用正交变换实现实对称矩阵的相似对角化152

习题5.5161

6 Jordan标准形简介163

6.1 多项式矩阵及其初等变换163

6.2 矩阵的Jordan标准形165

习题5.6172

第六章 二次型与对称矩阵174

1 二次型及其矩阵174

习题6.1178

2 二次型的标准形178

2.1 用正交变换化实二次型为标准形179

2.2 用配方法化二次型为标准形182

习题6.2184

3 合同变换与二次型的规范形185

3.1 合同变换法185

3.2 实二次型的规范形189

3.3 复二次型的规范形191

3.4 实二次型规范形惟一性的证明193

习题6.3194

4 实二次型的分类 正定二次型195

4.1 实二次型的分类195

4.2 正定二次型与正定矩阵196

4.3 负定、半正定与半负定二次型199

习题6.4200

第七章 线性空间与线性变换202

1 线性空间及其子空间202

1.1 线性空间的定义202

1.2 线性空间的基本性质206

1.3 线性空间的子空间207

1.4 子空间的交与和209

习题7.1212

2 基与维数214

习题7.2219

3 坐标与坐标变换221

3.1 向量的坐标221

3.2 基变换与坐标变换225

习题7.3229

4 线性变换及其性质230

4.1 变换及其运算230

4.2 线性变换及其性质232

习题7.4235

5 线性变换与矩阵的对应关系237

5.1 线性变换的矩阵238

5.2 线性变换与矩阵的对应关系241

5.3 线性变换的特征值与特征向量247

习题7.5248

部分习题参考答案251

参考文献279