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第1章 绪论1

1.1数值分析的研究对象1

1.2误差知识与算法知识1

1.2.1误差的来源与分类1

1.2.2绝对误差、相对误差与有效数字2

1.2.3函数求值的误差估计4

1.2.4算法及其计算复杂性5

1.3向量范数与矩阵范数7

1.3.1向量范数7

1.3.2矩阵范数8

习题12

第2章 线性方程组的解法14

2.1 Gauss消去法14

2.1.1顺序Gauss消去法15

2.1.2列主元素Gauss消去法16

2.2直接三角分解法18

2.2.1 Doolittle分解法与Crout分解法18

2.2.2选主元的Doolittle分解法22

2.2.3三角分解法解带状线性方程组24

2.2.4追赶法求解三对角线性方程组26

2.2.5拟三对角线性方程组的求解方法28

2.3矩阵的条件数与病态线性方程组29

2.3.1矩阵的条件数与线性方程组的性态29

2.3.2关于病态线性方程组的求解问题31

2.4迭代法33

2.4.1迭代法的一般形式及其收敛性33

2.4.2 Jacobi迭代法36

2.4.3 Gauss-Seidel迭代法39

2.4.4逐次超松弛迭代法41

习题45

第3章 矩阵特征值与特征向量的计算48

3.1幂法和反幂法48

3.1.1幂法48

3.1.2反幂法51

3.2 Jacobi方法53

3.3 QR方法56

3.3.1矩阵的QR分解56

3.3.2矩阵的拟上三角化59

3.3.3带双步位移的QR方法62

习题65

第4章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法67

4.1非线性方程的迭代解法67

4.1.1对分法67

4.1.2简单迭代法及其收敛性68

4.1.3简单迭代法的收敛速度71

4.1.4 Steffensen迭代法73

4.1.5 Newton法75

4.1.6求方程m重根的Newton法78

4.1.7割线法80

4.1.8单点割线法83

4.2非线性方程组的迭代解法85

4.2.1一般概念85

4.2.2简单迭代法88

4.2.3 Newton法90

4.2.4离散Newton法92

习题92

第5章 插值与逼近94

5.1代数插值94

5.1.1一元函数插值94

5.1.2二元函数插值99

5.2 Hermite插值101

5.3样条插值104

5.3.1样条函数104

5.3.2三次样条插值问题108

5.3.3 B样条为基底的三次样条插值函数109

5.3.4三弯矩法求三次样条插值函数112

5.4三角插值与快速Fourier变换115

5.4.1周期函数的三角插值115

5.4.2快速Fourier变换117

5.5正交多项式119

5.5.1正交多项式概念与性质119

5.5.2几种常用的正交多项式122

5.6函数的最佳平方逼近126

5.6.1最佳平方逼近的概念与解法126

5.6.2正交函数系在最佳平方逼近中的应用129

5.6.3样条函数在最佳平方逼近中的应用133

5.6.4曲线拟合与曲面拟合135

习题143

第6章 数值积分149

6.1求积公式及其代数精度149

6.2插值型求积公式150

6.3 Newton-Cotes求积公式151

6.4 Newton-Cotes求积公式的收敛性与数值稳定性155

6.5复化求积法156

6.5.1复化梯形公式与复化Simpson公式156

6.5.2区间逐次分半法159

6.6 Romberg积分法160

6.6.1 Richardson外推技术160

6.6.2 Romberg积分法162

6.7 Gauss型求积公式164

6.7.1一般理论164

6.7.2几种Gauss型求积公式168

6.8二重积分的数值求积法174

6.8.1矩形域上的二重积分174

6.8.2一般区域上的二重积分176

习题177

第7章 常微分方程初值问题的数值解法180

7.1一般概念180

7.2显式单步法181

7.2.1显式单步法的一般形式181

7.2.2 Runge-Kutta方法182

7.2.3相容性、收敛性和绝对稳定性187

7.3线性多步法192

7.3.1线性多步法的一般形式192

7.3.2预报-校正格式195

7.3.3相容性和收敛性196

7.3.4绝对稳定性197

7.4步长的选择203

7.5常微分方程组与刚性问题204

7.5.1常微分方程组初值问题的数值解法204

7.5.2刚性问题209

习题211

第8章 偏微分方程的差分解法214

8.1椭圆型方程第一边值问题214

8.1.1差分方程的建立214

8.1.2边界条件的使用216

8.1.3差分方程组解的存在唯一性218

8.2抛物型方程初边值问题218

8.2.1差分方程的建立与定解条件的离散化219

8.2.2差分方程的稳定性226

8.3双曲型方程的特征-差分解法229

8.3.1一阶双曲型方程229

8.3.2一阶双曲型方程组233

8.3.3二阶双曲型方程233

习题235

“数值分析”计算实习说明书238

习题答案与提示248

计算实习题参考答案267

参考文献273