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第一章 几何向量及其应用1

1.1向量及其线性运算1

1.1.1向量的概念1

1.1.2向量的线性运算2

1.1.3向量的共线与共面4

习题1.15

1.2内积、外积和混合积6

1.2.1向量的内积6

1.2.2向量的外积7

1.2.3向量的混合积8

习题1.29

1.3向量及其运算的坐标表示9

1.3.1仿射坐标系9

1.3.2空间直角坐标系10

1.3.3向量运算的坐标表示11

习题1.316

1.4平面及其方程17

1.4.1平面的点法式方程17

1.4.2平面的一般式方程18

1.4.3两个平面间的相互位置19

习题1.420

1.5空间直线及其方程21

1.5.1空间直线的对称式方程与参数方程21

1.5.2空间直线的一般方程22

1.5.3空间直线的位置关系23

1.5.4直线与平面的位置关系26

习题1.527

第二章 线性方程组与矩阵的运算29

2.1线性方程组与矩阵的基本概念29

2.1.1线性方程组的相关概念29

2.1.2线性方程组的矩阵表示30

2.1.3方程组和矩阵的初等变换33

习题2.137

2.2解方程组38

2.2.1阶梯形矩阵38

2.2.2方程组解的判定40

2.2.3把矩阵化为简化阶梯形矩阵43

习题2.245

2.3矩阵的线性运算和乘法47

2.3.1矩阵的加法和数乘48

2.3.2方程组解的向量表示50

2.3.3矩阵的乘法50

2.3.4矩阵乘法的应用54

2.3.5矩阵的转置56

习题2.357

2.4分块矩阵58

2.4.1分块矩阵的概念59

2.4.2分块矩阵的运算60

2.4.3分块矩阵的应用62

习题2.465

第三章 行列式与矩阵66

3.1行列式66

3.1.1 2元线性方程组与2阶行列式66

3.1.2n阶行列式68

3.1.3拉普拉斯展开定理71

3.2行列式的性质与计算73

3.2.1行列式的主要性质73

3.2.2矩阵的行列式运算性质77

习题3.278

3.3逆矩阵79

3.3.1逆矩阵的定义79

3.3.2矩阵可逆的充要条件82

3.3.3可逆矩阵的性质85

3.3.4抽象矩阵的逆矩阵计算86

习题3.387

3.4克莱姆法则87

习题3.489

3.5矩阵的秩89

3.5.1秩的定义89

3.5.2秩的计算90

习题3.592

3.6初等变换的矩阵解释93

3.6.1初等矩阵93

3.6.2左行右列准则94

3.6.3逆矩阵的初等变换求法96

3.6.4矩阵方程98

3.6.5矩阵的等价99

习题3.699

3.7方程组解的判断100

习题3.7103

附录：定理的证明103

第四章 向量组的线性相关性108

4.1向量组及线性组合108

4.1.1向量组与矩阵108

4.1.2线性组合与线性表示110

习题4.1114

4.2线性相关与线性无关115

4.2.1线性相关性的定义与判定115

4.2.2线性相关性的性质118

习题4.2120

4.3向量组的极大无关组与秩120

4.3.1等价向量组121

4.3.2极大无关组122

4.3.3秩的性质与计算124

习题4.3126

4.4向量空间、基和维数127

4.4.1向量空间127

4.4.2向量空间的基和维数128

习题4.4132

4.5线性方程组解的结构133

4.5.1齐次方程组的基础解系133

4.5.2非齐次方程组解的结构137

4.5.3方程组解的结构的应用139

习题4.5139

附录：定理的证明140

第五章 特征值与特征向量142

5.1向量的内积、长度和施密特正交化142

5.1.1内积、长度与正交性142

5.1.2正交投影145

5.1.3标准正交基146

5.1.4施密特正交化方法147

5.1.5正交矩阵150

习题5.1151

5.2特征值与特征向量152

5.2.1特征值与特征向量的定义152

5.2.2特征值与特征向量的计算153

5.2.3特征值与特征向量的性质155

习题5.2157

5.3相似矩阵与对角化158

5.3.1相似矩阵的定义与性质158

5.3.2矩阵的对角化158

习题5.3162

5.4实对称矩阵的对角化163

5.4.1实对称矩阵的性质163

5.4.2实对称矩阵的对角化164

习题5.4167

附录：定理的证明167

第六章 二次型169

6.1二次型的定义和矩阵表示、矩阵的合同169

6.1.1二次型的定义和矩阵表示170

6.1.2矩阵的合同172

习题6.1173

6.2二次型化为标准形的方法174

6.2.1正交变换法174

6.2.2拉格朗日配方法177

习题6.2179

6.3实二次型的分类、正定矩阵180

6.3.1二次型的规范形、惯性定理180

6.3.2二次型的分类181

6.3.3正定矩阵的等价条件181

习题6.3184

第七章 线性空间与线性变换185

7.1线性空间185

7.1.1线性空间的定义与性质185

7.1.2线性空间的基与坐标186

7.1.3线性子空间的和与直和188

习题7.1190

7.2线性映射190

7.2.1线性映射的定义与性质190

7.2.2线性映射的像空间与核空间192

7.2.3同构映射与线性空间的同构193

7.2.4线性映射的矩阵表示194

7.2.5线性变换196

习题7.2199

7.3欧氏空间200

7.3.1欧氏空间的概念与性质201

7.3.2正交变换与对称变换206

习题7.3209

参考文献211