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第1章 命题逻辑1

1.1 命题与联结词1

1.1.1 命题的基本概念1

1.1.2 命题分类及命题标识符2

1.1.3 命题联结词2

1.2 命题公式、翻译与真值表4

1.2.1 命题公式4

1.2.2 命题的符号化4

1.2.3 真值表5

1.3 公式分类与等价式6

1.3.1 公式分类6

1.3.2 等价公式（等值演算）6

1.3.4 代入规则和替换规则7

1.3.3 基本等价式——命题定律7

1.3.5 证明两个命题公式等价的方法8

1.4 对偶式与蕴涵式9

1.4.1 对偶式9

1.4.2 蕴涵式10

1.4.3 蕴涵式的证明方法11

1.5 联结词的扩充与全功能联结词组11

1.5.1 联结词的扩充11

1.5.2 与非、或非、异或的性质12

1.5.3 全功能联结词组13

1.6 公式标准型——范式13

1.6.1 简单合取式与简单析取式13

1.6.2 析取范式与合取范式13

1.6.3 范式的应用14

1.7.1 主析取范式15

1.7 公式主范式15

1.7.2 主合取范式17

1.7.3 主范式的应用19

1.8 命题逻辑的推理理论20

1.8.1 推理规则20

1.8.2 推理定律21

1.8.3 判断有效结论的常用方法21

1.9 典型例题分析24

习题28

第2章 谓词逻辑32

2.1 基本概念32

2.1.1 个体、谓词和命题的谓词形式32

2.1.2 量词33

2.2.1 谓词公式34

2.2 谓词公式与翻译34

2.2.2 谓词逻辑的翻译35

2.3 自由变元和约束变元35

2.4 谓词公式的解释与分类36

2.4.1 谓词公式的解释36

2.4.2 谓词公式的分类37

2.5 谓词演算的等价式与蕴涵式38

2.5.1 等价式38

2.5.2 蕴涵式40

2.6 谓词演算中的公式范式41

2.6.1 前束范式41

2.6.2 斯柯林范式42

2.7 谓词演算的推理理论42

2.8 典型例题分析46

习题48

3.1.2 集合的表示法52

3.1.1 集合的概念52

第3章 集合52

3.1 集合的概念与表示法52

3.1.3 集合的包含与相等53

3.1.4 空集、集族、幂集和全集54

3.1.5 有限幂集元素的编码表示55

3.2 集合的运算与性质55

3.2.1 集合的交、并和补55

3.2.2 集合的对称差57

3.2.3 集合的广义并和广义交57

3.2.4 集合的文氏图58

3.3 集合的划分与覆盖58

3.4 排列与组合60

3.4.1 加法原理与乘法原理60

3.4.2 排列60

3.4.4 排列与组合的生成61

3.4.3 组合61

3.5 归纳原理62

3.5.1 结构归纳原理62

3.5.2 数学归纳原理63

3.6 容斥原理和抽屉原理64

3.6.1 容斥原理64

3.6.2 抽屉原理（鸽巢原理）65

3.7 递推关系66

3.7.1 递推关系的概念66

3.7.2 递推关系的求解66

3.8 集合论在命题逻辑中的应用68

3.8.1 命题逻辑中的集合表示68

3.8.2 应用举例70

3.9 典型例题分析70

习题72

3.10 上机实验72

4.1 序偶与笛卡儿积75

4.1.1 序偶及有序n元组75

4.1.2 笛卡儿积75

第4章 关系75

4.2 关系及其表示77

4.2.1 关系77

4.2.2 关系矩阵与关系图79

4.3 复合关系及逆关系79

4.4 关系的性质81

4.5 关系的闭包83

4.6 等价关系和等价类88

4.7 相容关系90

4.8 偏序关系92

4.9 典型例题分析95

习题97

4.10 上机实验97

第5章 函数100

5.1 函数的概念100

5.1.1 函数定义100

5.1.2 函数性质101

5.2 逆函数和复合函数102

5.2.1 逆函数102

5.2.2 函数的复合102

5.2.3 几种特殊的函数105

5.3 集合的基数105

5.3.1 基数的概念106

5.3.2 可数集与不可数集106

5.3.3 基数的比较107

5.4.1 Fuzzy集108

5.4 经典集合的扩展108

5.4.2 Vague集109

5.4.3 Rough集110

5.5 典型例题分析111

习题113

第6章 整除115

6.1 因数和倍数115

6.2 素数和合数115

6.3 带余除法与辗转相除法116

6.4 最大公因数和最小公倍数117

6.5 算术基本定理119

6.6 典型例题分析120

6.7 上机实验122

习题122

7.1 同余及其性质123

第7章 同余123

7.2 剩余类和剩余系125

7.3 欧拉定理与威尔逊定理126

7.4 一次同余式128

7.5 一次同余式组130

7.6 数论在密码学中的应用131

7.6.1 仿射加密法132

7.6.2 RSA系统133

7.6.3 MH系统134

7.7 典型例题分析135

习题136

第8章 代数系统137

8.1 代数系统的定义137

8.2 代数系统的性质138

8.3 代数系统的同态与同构142

8.4 同余关系144

8.5 商代数与积代数145

8.6 半群和独异点146

8.6.1 半群146

8.6.2 独异点147

8.7 群与子群148

8.7.1 群148

8.7.2 元素的阶149

8.7.3 子群150

8.8 循环群和置换群151

8.8.1 循环群151

8.8.2 置换群153

8.9 陪集和正规子群156

8.9.1 陪集156

8.9.2 正规子群158

8.10 群的同态与同构159

8.11 环与域161

8.11.1 环161

8.11.2 子环与理想163

8.11.3 域163

8.11.4 环的同态与同构165

8.12 典型例题分析166

习题170

第9章 格与布尔代数174

9.1 格的定义与性质174

9.2 子格与格同态176

9.3 特殊的格177

9.4 布尔代数178

9.5 典型例题分析181

习题182

第10章 图184

10.1 图的基本概念184

10.1.1 图184

10.1.2 子图与补图185

10.1.3 结点的度186

10.1.4 图的同构188

10.2 路、回路与连通性189

10.3 图的矩阵表示193

10.4 欧拉图与哈密顿图196

10.4.1 欧拉图196

10.4.2 哈密顿图198

10.5 二部图与匹配200

10.6 平面图202

10.6.1 平面图的基本概念202

10.6.2 欧拉公式203

10.6.3 平面图的判定204

10.6.4 平面图的对偶图205

10.7 树及其应用206

10.7.1 无向树及生成树206

10.7.2 根树及其应用209

10.8 着色问题214

10.8.1 图中结点的着色214

10.8.2 地图的着色与平面图的点着色215

10.8.3 边着色216

10.9 最短路径和关键路径216

10.9.1 最短路径问题216

10.9.2 关键路径问题218

10.10 典型例题分析220

习题223

10.11 上机实验223

第11章 形式语言与自动机简介229

11.1 语言及其表示229

11.1.1 语言229

11.1.2 文法230

11.1.3 识别器231

11.2 正规语言与有限自动机232

11.2.1 确定的有限自动机232

11.2.2 不确定的有限自动机235

11.3 上下文无关语言与下推自动机237

11.3.1 上下文无关语言238

11.3.2 下推自动机238

11.3.3 下推自动机与上下文无关语言的关系240

11.4.1 图灵识别器241

11.4 图灵机241

11.4.2 用于计算的图灵机243

11.5 线性界限自动机244

11.6 典型例题分析244

11.7 上机实验245

习题245

第12章 纠错码简介247

12.1 纠错码的基本概念247

12.2 纠错码的纠错能力249

12.3 纠错码的选择251

12.4 群码的校正255

12.5 典型例题分析256

12.6 上机实验258

习题258

参考文献259