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第1章　指数密度与均匀密度1

1.1　引言1

1.2　密度和卷积2

1.3　指数密度6

1.4　等待时间的悖论，泊松过程9

1.5　倒霉事的持续时间12

1.6　等待时间与顺序统计量14

1.7　均匀分布17

1.8　随机分裂20

1.9　卷积与覆盖定理21

1.10　随机方向24

1.11　勒贝格测度的应用27

1.12　经验分布30

1.13　习题32

第2章　特殊密度和随机化38

2.1　符号与约定38

2.2　Г分布39

2.3　与统计学有关的分布40

2.4　一些常用的密度42

2.5　随机化与混合45

2.6　离散分布47

2.7　贝塞尔函数与随机游动50

2.8　圆上的分布53

2.9　习题55

第3章　高维密度、正态密度与正态过程58

3.1　密度58

3.2　条件分布63

3.3　再论指数分布和均匀分布65

3.4　正态分布的特征68

3.5　矩阵记号，协方差矩阵70

3.6　正态密度与正态分布73

3.7　平稳正态过程77

3.8　马尔可夫正态密度83

3.9　习题87

第4章　概率测度与概率空间91

4.1　贝尔函数91

4.2　区间函数与在Rr上的积分93

4.3　σ代数和可测性98

4.4　概率空间和随机变量101

4.5　扩张定理104

4.6　乘积空间和独立变量序列106

4.7　零集和完备化109

第5章　Rr中的概率分布111

5.1　分布与期望111

5.2　预备知识119

5.3　密度121

5.4　卷积125

5.5　对称化129

5.6　分部积分，矩的存在性131

5.7　切比雪夫不等式133

5.8　进一步的不等式，凸函数134

5.9　简单的条件分布，混合138

5.10　条件分布141

5.11　条件期望143

5.12　习题145

第6章　一些重要的分布和过程149

6.1　R1中的稳定分布149

6.2　例152

6.3　R1中的无穷可分分布155

6.4　独立增量过程158

6.5　复合泊松过程中的破产问题160

6.6　更新过程161

6.7　例与问题164

6.8　随机游动167

6.9　排队过程170

6.10　常返的和瞬时的随机游动175

6.11　一般的马尔可夫链179

6.12　鞅183

6.13　习题188

第7章　大数定律，在分析中的应用191

7.1　主要引理与记号191

7.2　伯因斯坦多项式，绝对单调函数194

7.3　矩问题195

7.4　在可交换变量中的应用199

7.5　广义泰勒公式与半群201

7.6　拉普拉斯变换的反演公式203

7.7　同分布变量的大数定律205

7.8　强大数定律208

7.9　向鞅的推广211

7.10　习题214

第8章　基本极限定理217

8.1　测度的收敛性217

8.2　特殊性质222

8.3　作为算子的分布224

8.4　中心极限定理227

8.5　无穷卷积233

8.6　选择定理234

8.7　马尔可夫链的遍历定理237

8.8　正则变化241

8.9　正则变化函数的渐近性质245

8.10　习题250

第9章　无穷可分分布与半群256

9.1　概论256

9.2　卷积半群258

9.3　预备引理261

9.4　有限方差的情形263

9.5　主要定理265

9.6　例：稳定半群270

9.7　具有同分布的三角形阵列272

9.8　吸引域275

9.9　可变分布，三级数定理279

9.10　习题281

第10章　马尔可夫过程与半群284

10.1　伪泊松型284

10.2　一种变形：线性增量287

10.3　跳跃过程288

10.4　R1中的扩散过程293

10.5　向前方程，边界条件297

10.6　高维扩散302

10.7　从属过程303

10.8　马尔可夫过程与半群307

10.9　半群理论的“指数公式”310

10.10　生成元，向后方程313

第11章　更新理论315

11.1　更新定理315

11.2　更新定理的证明320

11.3　改进322

11.4　常返更新过程324

11.5　更新时刻的个数N1327

11.6　可终止（瞬时）过程329

11.7　各种各样的应用332

11.8　随机过程中极限的存在性334

11.9　全直线上的更新理论335

11.10　习题340

第12章　R1中的随机游动343

12.1　基本的概念与记号343

12.2　对偶性，随机游动的类型347

12.3　阶梯高度的分布，维纳-霍普夫因子分解350

12.4　例356

12.5　应用360

12.6　一个组合引理363

12.7　阶梯时刻的分布364

12.8　反正弦定律367

12.9　杂录373

12.10　习题375

第13章　拉普拉斯变换，陶伯定理，预解式380

13.1　定义，连续性定理380

13.2　基本性质384

13.3　例386

13.4　完全单调函数，反演公式389

13.5　陶伯定理391

13.6　稳定分布396

13.7　无穷可分分布398

13.8　高维情形401

13.9　半群的拉普拉斯变换402

13.10　希尔-吉田定理406

13.11　习题410

第14章　拉普拉斯变换的应用414

14.1　更新方程：理论414

14.2　更新型方程：例416

14.3　包含反正弦分布的极限定理418

14.4　忙期与有关的分支过程420

14.5　扩散过程422

14.6　生灭过程与随机游动425

14.7　科尔莫戈罗夫微分方程429

14.8　例：纯生过程434

14.9　遍历极限与首次通过时间的计算437

14.10　习题440

第15章　特征函数443

15.1　定义，基本性质443

15.2　特殊的分布，混合446

15.3　唯一性，反演公式451

15.4　正则性455

15.5　关于相等分量的中心极限定理457

15.6　林德伯格条件460

15.7　高维特征函数463

15.8　正态分布的两种特征466

15.9　习题468

第16章　与中心极限定理有关的展开式473

16.1　记号473

16.2　密度的展开式474

16.3　磨光478

16.4　分布的展开式480

16.5　贝利-埃森定理484

16.6　在可变分量情形下的展开式488

16.7　大偏差490

第17章　无穷可分分布496

17.1　无穷可分分布496

17.2　标准型，主要的极限定理499

17.3　例与特殊性质507

17.4　特殊性质510

17.5　稳定分布及其吸引域514

17.6　稳定密度521

17.7　三角形阵列522

17.8　类L527

17.9　部分吸引，“普遍的定律”529

17.10　无穷卷积531

17.11　高维的情形532

17.12　习题533

第18章　傅里叶方法在随机游动中的应用536

18.1　基本恒等式536

18.2　有限区间，瓦尔德逼近538

18.3　维纳-霍普夫因子分解541

18.4　含义及应用546

18.5　两个较深刻的定理549

18.6　常返性准则551

18.7　习题553

第19章　调和分析556

19.1　帕塞瓦尔关系式556

19.2　正定函数557

19.3　平稳过程559

19.4　傅里叶级数562

19.5　泊松求和公式565

19.6　正定序列568

19.7　L2理论570

19.8　随机过程与随机积分576

19.9　习题580

习题解答583

参考文献587

索引589