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第一章 基本的代数与数值概念1

1．1 什么是矩阵1

1．2 矩阵方程1

1．3 矩阵乘法2

1．4 某些特殊的矩阵4

1．5 矩阵的转置和对称性5

1．6 矩阵的行列式6

1．7 线性方程组的求解7

1．8 高斯消去法和主元消去法7

1．9 多重右端项的方程组9

1．10 矩阵方程的变换11

1．11 矩阵的秩12

1．12 矩阵的逆13

1．13 逆的意义14

1．14 矩阵表达式的转置和逆15

1．15 矩阵的分块16

1．16 矩阵的特征值18

1．17 特征值的性质19

1．18 特征向量21

1．19 范数和正规化22

1．20 对称矩阵特征向量的正交性条件23

1．21 二次型和正定矩阵24

1．22 Gerschgorin盘26

参考文献28

第二章 某些矩阵问题29

2．1 电阻网络29

2．2 网络方程的替换形式30

2．3 电阻网络方程组的性质32

2．4 其它网络问题35

2．5 超定方程组的最小二乘法36

2．6 测量中的平差37

2．7 曲线拟合39

2．8 热传导场问题41

2．9 有限差分法42

2．10 有限元法44

2．11 源和汇方法47

2．12 用 Newton-Raphson法分析非线性电缆问题47

参考文献51

第三章 存储方案和矩阵乘法52

3．1 计算机中的数值计算52

3．2 舍入误差54

3．3 矩阵的数组形式存储56

3．4 用二维数组计算矩阵乘法57

3．5 程序的效率59

3．6 一维存储的矩阵运算60

3．7 外存的使用61

3．8 稀疏存储62

3．9 二进制标识法62

3．10 随机填充存储法63

3．11 地址链的使用64

3．12 系统填充存储法65

3．13 稀疏填充存储方案的注意事项66

3．14 系统填充存储的矩阵运算67

3．15 稀疏矩阵的串联存储70

3．16 规则型存储方案71

3．17 变带宽存储72

3．18 子矩阵存贮方案73

参考文献74

第四章 线性方程组的消去法75

4．1 高斯消去法的实现75

4．2 高斯消去法和三角形分解的等价性77

4．3 三角形分解的实现78

4．4 对称分解79

4．5 三角形分解的应用80

4．6 不必采用主元选择的情况82

4．7 主元选择84

4．8 行和列变换86

4．9 消去时精度的损失87

4．10 关于主元选择88

4．11 病态89

4．12 实际病态情况91

4．13 剩余和迭代改进92

4．14 对称矩阵的双主元选择94

4．15 带有已定变量的方程组97

4．16 具有奇异系数矩阵的方程组98

4．17 变形方程组的求解99

4．18 正交分解法103

4．19 最小二乘方程组的正交分解法104

参考文献106

第五章 稀疏矩阵消去法108

5．1 在消去过程中稀疏型式的变化108

5．2 稀疏消去法的图的解释109

5．3 对角带消去法112

5．4 变带宽消去算法114

5．5 关于变带宽算法的应用116

5．6 自动波前编序方案118

5．7 在填充存储中的消去法122

5．8 利用子矩阵的消去法124

5．9 子结构法125

5．10 关于外存的利用128

5．11 非对称带消去法131

5．12 在填充存储中的非对称消去法132

参考文献133

第六章 线性方程组的迭代法135

6．1 Jacobi和Gauss-Seidel迭代法135

6．2 松弛技术137

6．3 迭代法的一般特性139

6．4 迭代矩阵140

6．5 系数矩阵对称正定时的收敛性142

6．6 具有性质A的矩阵144

6．7 松弛因子的选择148

6．8 双扫法和予处理法148

6．9 块松弛法150

6．10 SLOR，ADIP和SIP法152

6．11 切比雪夫加速法153

6．12 动态加速法156

8．13 梯度法158

6．14 关于梯度法的收敛性160

6．15 共轭梯度法的应用162

参考文献164

第七章 某些矩阵特征值问题166

7．1 杆的弯曲166

7．2 结构的振动167

7．3 线性化特征值问题169

7．4 线性化特征值问题的某些性质170

7．5 阻尼振动172

7．6 动力稳定性173

7．7 将二次特征值问题化为标准形式173

7．8 主分量分析174

7．9 主分量分析的几何解释177

7．10 马尔可夫链179

7．11 马尔可夫链用于确定计算机的运行状态180

7．12 随机矩阵的特征值性质181

参考文献184

8．2 Jacobi对角化法185

第八章 特征值问题的变换法185

8．1 矩阵的正交变换185

8．3 Jacobi法在计算机上的实现188

8．4 Givens三对角化法189

8．5 Householder变换法190

8．6 Householder三对角化法的实际计算方法191

8．7 对称带状矩阵的变换193

8．8 非对称矩阵的特征值性质194

8．9 相似变换196

8．10 化为上Hessenberg形197

8．11 LR变换法199

8．12 LR法的收敛性201

8．13 QR变换法202

8．14 QR法中的原点移位203

8．15 关于QR法的讨论204

8．16 变换法的应用205

参考文献206

第九章 Sturm序列法207

9．1 特征方程207

9．2 Sturm序列性质207

9．3 求三对角矩阵特征值的对分法209

9．4 三对角阵的对分法的讨论210

9．5 一般对称矩阵的对分法211

0．6 带状矩阵的对分法212

9．7 非线性对称特征值问题213

参考文献214

第十章 特征值的向量迭代法215

10．1 幂法215

10．2 幂法的收敛特性216

10．3 特征值移位法和逆迭代法219

10．4 用净化法求次特征值221

10．5 用压缩法求次特征值223

10．6 联立迭代法224

10．7 联立迭代法的收敛性和效率226

10．8 对称矩阵的联立迭代法228

10．9 非对称矩阵的联立迭代法232

10．10 振动频率分析的联立迭代法233

10．11 改善效率的联立迭代法235

10．12 Lanczos方法236

参考文献238

附录241