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第一章 矢量分析1

1．1 引言1

1．1．1 术语的定义1

1．1．2 基本概念与记号2

1．1．3 不用坐标系的矢量加法2

1．2 基矢量的笛卡儿坐标系4

1．2．1 标准正交基4

1．2．2 位置矢量(矢径)4

1．2．3 矢量的正交分解5

1．2．4 方向余弦6

1．2．5 用坐标系的矢量代数7

1．3 矢量函数的微分12

1．3．1 矢量的导数12

1．3．2 梯度的概念15

1．4 矢量函数的积分19

1．4．1 线积分19

1．4．2 高斯散度定理22

1．4．3 格林定理26

1．4．4 斯托克斯旋度定理28

1．4．5 两个有用的积分关系式30

1．5 常用的矢量关系式33

1．5．1 含▽算子的关系式33

1．5．2 其他矢量关系式33

1．5．3 某些重要的物理方程34

1．6 广义坐标系35

1．6．1 广义曲线坐标系35

1．6．2 正交曲线坐标系37

1．6．3 正交曲线坐标系中的梯度38

1．6．4 正交曲线坐标系中的散度和旋度38

1．6．5 正交曲线坐标系中的拉普拉斯算子39

1．6．6 平面极坐标系(γ，θ)40

1．6．7 右手圆柱坐标系(ρ，ф，z)40

1．6．8 球极坐标系(γ，θ，ф)41

1．7 习题43

第二章 算子与矩阵分析48

2．1 引言48

2．2 矢量空间初步48

2．2．1 矢量空间的定义48

2．2．2 线性相关49

2．2．3 矢量空间的维数50

2．2．4 内积50

2．2．5 希尔伯特空间51

2．2．6 线性算子51

2．3 矩阵分析和记号53

2．4 矩阵运算54

2．4．1 加法(减法)54

2．4．2 乘法54

2．4．3 除法56

2．4．4 矩阵的导数57

2．4．5 矩阵的积分57

2．4．6 分块矩阵57

2．5 任意矩阵的性质58

2．5．1 转置矩阵58

2．5．2 复共轭矩阵58

2．5．3 埃尔米特共轭矩阵58

2．6 特殊方阵59

2．6．1 单位矩阵59

2．6．2 对角矩阵59

2．6．3 降秩矩阵60

2．6．4 余因子矩阵60

2．6．5 伴随矩阵60

2．6．6 自伴矩阵61

2．6．7 对称矩阵61

2．6．8 反对称矩阵61

2．6．9 埃尔米特矩阵62

2．6．10 酉矩阵62

2．6．11 正交矩阵62

2．6．12 矩阵的迹63

2．6．13 逆矩阵63

2．7 线性方程组的解64

2．8 本征值问题65

2．9 坐标变换68

2．9．1 二维旋转68

2．9．2 三维旋转69

2．10 习题71

附录：行列式初步75

第三章 复变函数81

3．1 引言81

3．2 复变数与表示81

3．2．1 代数运算82

3．2．2 阿根图：矢量表示83

3．2．3 复共轭84

3．2．4 欧拉公式87

3．2．5 棣美弗定理88

3．2．6 复数的n次方根或n次幂88

3．3 复变解析函数90

3．3．1 f(z)的导数和解析性90

3．3．2 调和函数92

3．3．3 围道积分93

3．3．4 柯西积分定理94

3．3．5 柯西积分公式96

3．3．6 积分号下求导97

3．4 级数展开式98

3．4．1 泰勒展开式98

3．4．2 罗朗展开式101

3．5 习题108

附录：级数初步110

第四章 留数计算114

4．1 零点114

4．2 孤立奇点115

4．3 留数计算117

4．3．1 m阶极点117

4．3．2 单极点119

4．4 柯西留数定理124

4．5 柯西主值125

4．6 定积分计算127

4．6．1 型积分127

4．6．2 型积分128

4．6．3 关于约当引理的附带说明130

4．6．4 型积分131

4．7 色散关系式133

4．8 几何表示135

4．8．1 引言135

4．8．2 保角变换(映射)136

4．9 习题140

第五章 微分方程144

5．1 引言144

5．2 常微分方程144

5．2．1 一阶变系数齐次和非齐次方程145

5．2．2 叠加原理152

5．2．3 二阶常系数齐次方程153

5．2．4 二阶常系数非齐次方程157

5．2．5 二阶变系数非齐次方程159

5．2．6 二阶变系数齐次方程162

5．3 偏微分方程167

5．3．1 引言167

5．3．2 物理学中某些重要的偏微分方程168

5．3．3 直接积分法举例170

5．3．4 分离变量法172

5．4 习题173

第六章 数学物理中的特殊函数184

6．1 引言184

6．2 埃尔米特多项式184

6．2．1 力学中的基本运动方程184

6．2．2 一维线性谐振子185

6．2．3 埃尔米特微分方程的解187

6．3 勒让德多项式和缔合勒让德多项式193

6．3．1 球谐函数193

6．3．2 方位角方程195

6．3．3 勒让德多项式196

6．4 有心力问题205

6．4．1 引言205

6．4．2 拉盖尔多项式205

6．4．3 两个可以化为拉盖尔方程的方程208

6．5 贝塞耳函数210

6．5．1 引言210

6．5．2 贝塞耳方程的解212

6．5．3 贝塞耳方程的各种解的分析217

6．5．4 诺伊曼函数218

6．5．5 汉克尔函数218

6．5．6 修正贝塞耳函数219

6．5．7 球贝塞耳函数219

6．5．8 各种贝塞耳函数的特征220

6．5．9 某些其它的特殊函数225

6．6 习题227

附录：Pl(W)与Pml(W)之间的关系230

第七章 傅里叶级数234

7．1 引言234

7．1．1 傅里叶余弦与正弦级数235

7．1．2 区间的变更236

7．1．3 傅里叶积分237

7．1．4 傅里叶级数的复数形式237

7．2 广义傅里叶级数与狄拉克δ函数245

7．3 傅里叶级数的和248

7．4 吉布斯现象250

7．5 傅里叶级数的若干性质摘要253

7．6 习题253

第八章 傅里叶变换258

8．1 引言258

8．2 傅里叶变换理论258

8．2．1 复傅里叶变换的形式推导258

8．2．2 余弦变换与正弦变换260

8．2．3 多维傅里叶变换262

8．2．4 导数的变换262

8．2．5 卷积定理265

8．2．6 巴塞瓦关系式267

8．3 量子力学中的波包278

8．3．1 问题的由来：能量的量子化278

8．3．2 新量子论的发展279

8．3．3 粒子的波动方程：波包280

8．4 习题286

第九章 张量分析289

9．1 引言289

9．1．1 记号289

9．1．2 张量的秩与其分量数目290

9．2 线性空间中的坐标变换290

9．3 逆变与协变张量292

9．3．1 一秩张量(矢量)292

9．3．2 高秩张量293

9．3．3 对称与反对称张量294

9．3．4 极矢量与轴矢量294

9．4 张量代数295

9．4．1 加法(减法)295

9．4．2 乘法(外积)295

9．4．3 并缩296

9．4．4 内积296

9．4．5 商定则296

9．5 线元298

9．5．1 基本度规张量298

9．5．2 相伴张量299

9．6 张量微积分300

9．6．1 克里斯托弗尔符号301

9．6．2 张量的协变微分302

9．6．3 测地线方程307

9．6．4 黎曼-克里斯托弗尔张量310

9．7 习题312

附录A：克里斯托弗尔符号的变换法则314

附录B：变分法初步316